Как решать задачу.

 
Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательным и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы.
Д.Пойа

 

 

Из всех книг, о решении задач наиболее понятной на наш взгляд является книга Дьёрдь Пойа "How to Solve It" ("Как решать задачу"). Хотя ее и относят к разряду методической литературы по математике, но цитаты из этой книги и ссылки на на неё можно встретить не только в работах математиков.
В ней он изложил общую схему решения задач и оформил ее в виде таблицы (Приложение 1), которая занимает всего лишь один "тетрадный лист", а содержание книги является подробным комментарием к этой таблице.

Перейдем непосредственно к схеме.
Вот сокращенный вариант таблицы Д.Пойа:

КАК ИСКАТЬ РЕШЕНИЕ? ( по Д.Пойа)
  1. Понять предложенную задачу.
  2. Найти путь от неизвестного к данным, если нужно, рассмотрев промежуточные задачи („анализ").
  3. Реализовать найденную идею решения („синтез").
  4. Решение проверить и оценить критически.

Очень знакомая таблица?
Можно с большой вероятностью утверждать, что эта схема используется многими, причем большая часть пользователей даже не слышали имя известного математика, схему используют интуитивно.

Пойа предлагает разбить процесс решения задачи на четыре ступени, при этом он считает:
"Каждая из этих ступеней важна сама по себе. Может случиться, однако, что учащийся, осененный блестящей идеей, перепрыгивает через все приготовления и сразу находит решение. Подобные счастливые мысли, конечно, нужно приветствовать, однако произойдет нечто весьма нежелательное, если ученик пропустит одну из четырех ступеней, не имея в голове никакой хорошей идеи. Самое же плохое случится, если учащийся примется за вычисления и построения, не поняв задачи. Вообще, совершенно бесполезно браться за какие-либо частные рассмотрения, не выяснив главных связей, не составив себе некоторого плана."

Трудно не согласиться с этой цитатой, да и сама схема очень убедительна, но всё же нам кажется, что первый и второй пункты данной схемы можно объединить в один, уж больно тонка между ними грань и часто просто невозможно отделить одно от другого, тогда схема примет следующий вид:

КАК ИСКАТЬ РЕШЕНИЕ? ( авторы сайта)
  1. Понять задачу и предложить идею ее решения („анализ").
  2. Реализовать предложенную идею решения („синтез").
  3. Решение проверить и оценить критически.

Беликова Б.С. в своей книге «Решение задач по физике. Общие методы» также предлагает три этапа решения  физических задач.

 

 Приложение 1.

Таблица Д.Пойа "Как решать задачу"

  1. ПОНИМАНИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ

    Нужно ясно понять задачу.
    Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие?
    Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?
    Сделайте чертеж. Введите подходящие обозначения.
    Разделите условие на части. Постарайтесь записать их.
  2.  СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА РЕШЕНИЯ

    Нужно найти связь между данными и неизвестным. Если не удается сразу обнаружить эту связь, возможно, полезно будет рассмотреть вспомогательные задачи. В конечном счете необходимо прийти к плану решения.
    Не встречалась ли вам раньше эта задача? Хотя бы в несколько другой форме?
    Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Не знаете ли теоремы, которая могла бы оказаться полезной?
    Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.
    Вот задача, родственная с данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения? Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей?
    Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? Вернитесь к определениям.
    Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Более общую? Более частную? Аналогичную задачу? Нельзя ли решить часть задачи? Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определенным окажется тогда неизвестное; как оно сможет меняться? Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?
    Все ли данные вами использованы? Все ли условие? Приняты ли вами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?
  3. ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПЛАНА

    Нужно осуществить план решения.
    Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен?
  4. ВЗГЛЯД НАЗАД (изучение полученного решения)

    Нужно изучить найденное решение.
    Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения? Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда? Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?